Cercetare pionieră a matematicienilor polonezi asupra simetriei tuturor simetriilor

Matematicienii polonezi au reușit să rezolve o problemă importantă cu privire la Simetria tuturor simetriilor a rezolva. Aceasta a fost o problemă nerezolvată timp de câteva decenii - una dintre cele mai mari provocări ale teoriei geometrice a grupurilor.

Rezultatele Dr. Marek Kaluba (Universitatea Adam Mickiewicz și Institutul de Tehnologie Karlsruhe), Prof. Dawid Kielak (Universitatea din Oxford) și Prof. Piotr Nowak (Institutul de matematică al Academiei Poloneze de Științe) au fost publicate într-una dintre cele mai renumite reviste matematice Analele matematicii publicat.

Sursa imaginii: Pixabay

Am rezolvat o anumită problemă deschisă de mult timp arătând că o anumită familie infinită de obiecte algebrice - grupuri - are proprietatea T și, prin urmare, este foarte incompatibil cu Geometria euclidiană este ", rezumă Nowak.

Și dr. Marek Kaluba adaugă: Datorită cercetărilor noastre, am înțeles anumite aspecte geometrice ale grupurilor care codifică toate simetriile.
Obiectele cu Proprietatea Tpe care le-am examinat au proprietăți geometrice foarte exotice (nu pot fi numite Simetriile în Geometria euclidiană se va realiza). Pare acest lucru deconectat de realitate? La suprafață, da. Dar cunoașterea acestei proprietăți complicate a lui T a găsit deja aplicație. Permite, de exemplu, construirea de extensoare - grafice cu un număr mare de conexiuni, care sunt utilizate în Algoritmi de streaming fi folosit. Și așa Algoritmi sunt printre alte lucruri pentru afișarea Tendințe pe Twitter responsabil.

Întrebarea dacă grupurile pe care le-am studiat au o astfel de proprietate T a apărut tipărită în anii '90. Când eram doctorand, asta era o problemă pe care o întâlneam la fiecare altă conferință și conferință Teoria grupului auzit - rezumă Piotr Nowak.
Și Dawid Kielak adaugă: Rezultatul nostru explică modul în care funcționează un anumit algoritm. Este algoritmul de înlocuire a produsului care este utilizat atunci când doriți să extrageți articole dintr-un set mare, de ex. B. un set cu mai multe elemente decât numărul de particule din univers. Aceasta algoritm A existat încă din anii 1990 și funcționează mult mai bine decât se aștepta. Articolul nostru explică de ce funcționează atât de bine - spune prof. Kielak.

Și adaugă: Informatica este una nouă fizică. Ceea ce ne înconjoară nu sunt doar particule, ci tot mai mult și algoritmi. Sarcina noastră ca matematicieni va fi să înțelegem algoritmi, să arătăm de ce funcționează sau nu; de ce sunt rapide sau lente. Oamenii de știință s-au bazat pe calculele computerizate pentru dovada lor matematică. Utilizarea computerelor pentru a demonstra teoremele în matematică nu a fost considerată anterior deosebit de elegantă. Comunitatea din matematician teoretic majoritatea își încrețea nasul la computere. Dar aici această abordare modernă a funcționat extrem de bine.

Computerul tocmai a făcut treaba. Dar nu a înlocuit logica. Ideea noastră a fost să aplicăm reducerea unei probleme infinite la o problemă finită - spune prof. Kielak. Și Dr. Marek Kaluba adaugă: Avem problema noastră pe una Problemă de optimizare redus și apoi pentru aceasta optimizare Instrumente standard utilizate - algoritmi utilizați de ingineri pentru proiectarea componentelor

Deci computerului i s-a dat sarcina de a găsi o matrice care să îndeplinească anumite criterii. Aparatul a creat o soluție, a verificat cât de bine îndeplinea condițiile date și a îmbunătățit treptat această matrice pentru a atinge cea mai mică rată de eroare posibilă. Singura întrebare a fost cât de mică este marja de eroare pe care o poate atinge; sa dovedit că eroarea computerului la ultima aproximare a fost foarte, foarte mică. Deci, calculul computerului a făcut posibil - cu cele potrivite argumente matematice - Obțineți dovezi riguroase.

Cel creat de computer Matrix avea 4,5 mii de coloane și 4,5 mii de rânduri. Marek Kaluba explică faptul că problema la care lucrau a fost inițial prea mare pentru a fi rezolvată singură cu un supercomputer. Așadar, am folosit simetriile interne ale acestei probleme pentru a facilita găsirea unei soluții - spune el. Și el explică faptul că o abordare analogă poate fi utilizată și pentru rezolvarea altor probleme din domeniul optimizării obiectelor prin geometrie Simetriile Marcate sunt. Aceste simetrii (sub formă algebrică) vor fi, de asemenea, observabile în problema de optimizare și pot fi utilizate pentru Reducerea complexității poate fi folosit - spune Dr. Kaluba. Și adaugă: Deși ne ocupăm de matematică abstractă, dorim ca software-ul nostru să fie util și în aplicații tehnice.